一阶低通滤波器（LPF）：从模拟RC到数字实现

做电机控制这些年，我遇到最多的一个问题就是：怎么把传感器信号里的高频毛刺去掉，又不影响控制带宽？

答案其实很简单——一阶低通滤波器。但很多人用不好它。要么滤波效果太弱，要么把有用的信号也滤没了。今天我就把这块彻底讲透。

模拟RC低通：理解本质

先看模拟电路。一个电阻R串联，一个电容C对地并联，这就是最经典的RC低通滤波器。

它的传递函数长这样：

H(s) = 1 / (1 + s * R * C)

这里有个关键参数——时间常数 τ = R * C。τ越大，滤波越强，但响应越慢。

我刚开始做电机电流采样滤波时，就吃过这个亏。选了个很大的电容，结果电流环带宽直接掉了一半，电机跑起来嗡嗡响。嗯，这就是滤波过度了。

截止频率的计算

截止频率 f_c 是滤波器的分水岭。低于这个频率的信号基本保留，高于的会被衰减。

计算公式：

f_c = 1 / (2 * π * R * C)

举个例子：R=1kΩ，C=1μF

f_c = 1 / (2 * 3.14 * 1000 * 0.000001) ≈ 159 Hz

这意味着159Hz以上的信号会被逐渐削弱。在电机控制里，我一般把电流采样滤波的截止频率设在开关频率的1/10到1/20之间。比如10kHz的PWM，f_c取500Hz到1kHz比较合适。

从模拟到数字：一阶后向差分法

模拟滤波器好用，但我们的控制器是数字的。怎么办？离散化。

最常用的方法是一阶后向差分。说白了，就是用差分方程近似微分方程。

模拟域的传递函数：

Y(s) / X(s) = 1 / (1 + s * τ)

写成微分方程：

τ * dy/dt + y = x

用后向差分近似导数：

dy/dt ≈ (y[n] - y[n-1]) / T

其中T是采样周期。代入整理后得到：

y[n] = α * x[n] + (1 - α) * y[n-1]

这里的α是关键：

α = T / (τ + T) = T / (1/(2πf_c) + T)

你看，这个公式多简洁。当前输出 = 当前输入乘以α + 上次输出乘以(1-α)。

代码实现：C语言版

直接上代码。这是我常用的结构体实现：

typedef struct {
    float alpha;    // 滤波系数
    float y_prev;   // 上一次输出值
    float y;        // 当前输出值
} LPF_1stOrder;

// 初始化
void LPF_Init(LPF_1stOrder *lpf, float fc, float Ts) {
    float tau = 1.0f / (2.0f * 3.14159f * fc);
    lpf->alpha = Ts / (tau + Ts);
    lpf->y_prev = 0.0f;
    lpf->y = 0.0f;
}

// 滤波计算
float LPF_Process(LPF_1stOrder *lpf, float x) {
    lpf->y = lpf->alpha * x + (1.0f - lpf->alpha) * lpf->y_prev;
    lpf->y_prev = lpf->y;
    return lpf->y;
}

使用示例：

LPF_1stOrder current_filter;
LPF_Init(&current_filter, 500.0f, 0.0001f);  // fc=500Hz, Ts=100μs

while(1) {
    float raw_current = ADC_GetValue();
    float filtered_current = LPF_Process(&current_filter, raw_current);
    // 用filtered_current做控制
}

参数调优：实战经验

调参数这事，光看公式不行。我总结了几条实战经验：

场景	推荐截止频率	注意事项
电流采样滤波	开关频率/10 ~ 开关频率/20	太大会引入延迟，影响电流环带宽
速度计算滤波	速度环带宽的2~5倍	速度信号本身延迟大，滤波不要太强
位置信号滤波	1~10Hz	位置信号低频为主，滤波可以狠一点
编码器信号去毛刺	500Hz~2kHz	主要滤除机械振动引起的高频抖动

离散化公式的另一种形式

有时候你会看到这样的写法：

y[n] = y[n-1] + α * (x[n] - y[n-1])

这和前面的公式是等价的。我个人更喜欢这种写法，因为它更直观——每次只把输入和输出的差值的一部分加进去。α就是那个「一部分」的比例。

举个例子：如果α=0.1，每次只修正10%的误差。这样滤波就很平滑，但需要10个采样周期才能接近目标值的63%。

知识体系总览

下面这张图把一阶低通滤波器的核心逻辑串起来了：

几个实用技巧

• 初始化要小心： 第一次滤波时，y_prev最好赋值为当前输入值，而不是0。否则第一个输出会从0跳变到输入，产生冲击。
• 定点数实现： 在低端MCU上，用定点数代替浮点数。α用Q15格式表示，乘法用移位实现，速度能快好几倍。
• 变系数滤波： 启动时用大α快速跟踪，稳态后用小α平滑滤波。我做过一个自适应方案，效果比固定系数好很多。
• 注意采样周期： α依赖于采样周期T。如果T变化（比如任务调度不稳定），滤波效果会飘。这时候要用定时器固定采样间隔。

一阶低通滤波器看似简单，但用好了能解决很多实际问题。记住：滤波不是越强越好，关键是在噪声抑制和信号保真度之间找到平衡点。下次遇到传感器信号毛刺多的时候，先别急着加复杂的滤波器，试试一阶低通，说不定就搞定了。

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