4、经典做市模型：Avellaneda-Stoikov模型推导与实现

做市策略的核心，说白了就是回答两个问题：报什么价？报多少量？

Avellaneda-Stoikov模型（以下简称A-S模型）是我个人非常推崇的一个经典框架。它不像某些黑箱模型那样让人摸不着头脑，而是给出了一个清晰的数学推导路径。我在2018年做期权做市时，第一次把A-S模型落地到实盘，效果比纯手工报价好了不止一个档次。

4.1 模型的核心思想

A-S模型把做市商看作一个风险厌恶的库存管理者。你想想看，做市商本质上是在赚买卖价差，但手里囤了一堆货（库存）是有风险的。价格一波动，库存价值就跟着变。

模型假设：

• 做市商的目标是最大化期望效用，而不是最大化期望收益
• 效用函数采用指数形式：U(x) = -exp(-γx)，其中γ是风险厌恶系数
• 库存s服从一个扩散过程，受成交影响

嗯，这里要注意：指数效用函数的好处是它能把问题简化成一个线性形式。我在项目中遇到过有人用二次效用函数，结果推导出来的报价公式复杂到没法实时计算。

4.2 模型推导过程

推导其实不复杂，我们一步步来。

4.2.1 基本设定

假设做市商在买卖两边同时报价：

• 买价：p_b = S - δ_b
• 卖价：p_a = S + δ_a

其中S是中间价，δ_b和δ_a是报价偏移量。库存s的变化由成交决定：

ds = -dN_b + dN_a

N_b和N_a是买卖成交的泊松过程，强度取决于报价偏移量：

λ_b(δ) = A * exp(-k * δ)
λ_a(δ) = A * exp(-k * δ)

这个强度函数很有意思。A是最大到达率，k是订单流对价格的敏感度。k越大，说明市场越敏感，你稍微偏离一点中间价，成交就大幅减少。

4.2.2 价值函数与HJB方程

做市商的价值函数V(t, s)满足HJB方程：

∂V/∂t + max_{δ_b, δ_a} [λ_b(δ_b) * (V(t, s-1) - V(t, s) + δ_b) 
    + λ_a(δ_a) * (V(t, s+1) - V(t, s) + δ_a)] = 0

边界条件：V(T, s) = -exp(-γ * s * S_T)，到期时库存按市价清算。

说实话，第一次看到这个方程我也有点头大。但别慌，A-S模型给出了一个漂亮的解析解。

4.2.3 解析解

通过变量分离和泰勒展开，可以得到：

δ_b(s, t) = (1/γ) * ln(1 + γ/k) + γ * σ² * (T-t) * s
δ_a(s, t) = (1/γ) * ln(1 + γ/k) - γ * σ² * (T-t) * s

其中：

• γ：风险厌恶系数
• σ：波动率
• T-t：剩余时间
• s：当前库存（多头为正，空头为负）

4.3 库存风险厌恶系数γ

γ是整个模型里最关键的参数。它决定了做市商对库存风险的容忍度。

我个人习惯这样理解γ：

• γ越大 → 越厌恶风险 → 报价偏移量越大 → 价差越宽
• γ越小 → 越能承受风险 → 报价偏移量越小 → 价差越窄

γ取值	风险偏好	典型场景
0.01 - 0.05	激进	高流动性市场，如BTC永续合约
0.05 - 0.2	中性	主流股票、主流币种
0.2 - 1.0	保守	低流动性市场，如小市值代币

我曾经在ETH-USDT的做市策略里把γ设成0.1，结果库存一大了就疯狂调价，成交率暴跌。后来改成0.03，效果好了很多。说白了，γ的调参是个经验活，没有银弹。

4.4 最优报价偏移量计算

有了公式，实现起来就简单了。下面是我常用的Python实现：

import numpy as np

class AvellanedaStoikov:
    def __init__(self, gamma=0.1, k=1.5, sigma=0.02, T=1.0):
        """
        gamma: 风险厌恶系数
        k: 订单流敏感度
        sigma: 波动率
        T: 做市周期（年化）
        """
        self.gamma = gamma
        self.k = k
        self.sigma = sigma
        self.T = T
        
    def compute_spread(self, s, t):
        """
        s: 当前库存（正数表示多头）
        t: 当前时间（0到T之间）
        返回: (买价偏移, 卖价偏移)
        """
        # 常数项：基础价差的一半
        base_offset = (1.0 / self.gamma) * np.log(1 + self.gamma / self.k)
        
        # 动态项：库存调整
        inventory_adjust = self.gamma * (self.sigma ** 2) * (self.T - t) * s
        
        delta_b = base_offset + inventory_adjust
        delta_a = base_offset - inventory_adjust
        
        return delta_b, delta_a
    
    def get_quotes(self, mid_price, s, t):
        """返回实际报价"""
        delta_b, delta_a = self.compute_spread(s, t)
        bid = mid_price - delta_b
        ask = mid_price + delta_a
        return bid, ask

4.5 模型的核心逻辑图

下面这张图展示了A-S模型的完整工作流程：

4.6 避坑指南

我曾经在实盘里踩过几个坑，分享出来：

4.7 小结

A-S模型是经典中的经典。它把做市问题转化成了一个带解析解的优化问题，这在量化金融里非常难得。你想想看，大部分策略模型都需要数值求解，而A-S模型直接给你一个公式，这在低延迟场景下简直是福音。

不过也要清醒认识到，A-S模型有它的局限性：

• 假设订单流是泊松过程，实际市场有聚集效应
• 假设价格是几何布朗运动，实际有跳跃
• 没有考虑对手方策略的博弈

但这些都不妨碍它成为做市策略的基石。我个人建议，新手做市商先把A-S模型跑通、跑稳，再考虑加各种花哨的改进。

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