第一步：确定协整回归方程

好，咱们直接进入正题。Engle-Granger两步法，名字听着挺唬人，其实逻辑特别朴素。说白了就是：先猜两个品种之间有关系，然后验证这个关系是不是真的稳定。

第一步要做的，就是找到那个“关系”。

1.1 什么是协整回归方程？

协整回归方程，本质上就是一个线性回归模型。我拿螺纹钢和热卷举个例子：

热卷价格 = α + β × 螺纹钢价格 + ε

这里的α是截距项，β是协整系数，ε是残差。你想想看，如果这两个品种真的存在长期均衡关系，那么残差ε就应该是一个平稳序列——它会在0附近来回波动，不会越跑越远。

嗯，这里要注意：回归之前，得先确认两个序列都是同阶单整的。我见过不少新手上来就跑回归，结果两个序列一个I(1)一个I(2)，那残差肯定不平稳，白费功夫。

1.2 用OLS估计协整系数

实际操作中，我们直接用最小二乘法（OLS）来估计β。Python里用statsmodels就能搞定：

import statsmodels.api as sm
import numpy as np

# 假设rb_price和hc_price已经是一阶差分平稳的序列
X = sm.add_constant(rb_price)  # 加截距项
model = sm.OLS(hc_price, X)
result = model.fit()

beta = result.params[1]  # 协整系数
alpha = result.params[0]  # 截距项
residuals = result.resid  # 残差序列

print(f"协整方程: 热卷 = {alpha:.4f} + {beta:.4f} × 螺纹钢")

我个人习惯在跑回归之前，先画个散点图看看。如果两个价格序列的走势明显背离，那协整关系大概率不成立。我在项目中遇到过这种情况：螺纹钢和热卷的价差突然拉大，回归出来的R²只有0.3，果断放弃这个组合。

1.3 协整系数的经济含义

β的数值其实很有讲究。比如β=1.2，意味着螺纹钢涨1块钱，热卷平均涨1.2块钱。这个比例反映了两个品种之间的成本传导关系。

我一般会结合基本面来验证β的合理性。比如螺纹钢和热卷的生产成本差异，如果β偏离常识太多，那可能是数据有问题，或者样本期太短。

β值范围	经济含义	常见品种对
0.8 - 1.2	强替代/互补关系	螺纹钢-热卷
1.5 - 2.5	成本传导型关系	原油-沥青
< 0.5 或 > 3.0	弱协整或伪回归	谨慎对待

第二步：检验残差平稳性

方程建好了，残差算出来了。接下来就是关键一步：检验这个残差是不是平稳的。

为什么？因为如果残差不平稳，说明两个品种的价差会越走越远，套利策略根本没法做。你想想看，价差都不回归，你开仓了怎么平？

2.1 ADF检验的注意事项

检验残差平稳性，最常用的就是ADF检验。但这里有个坑：残差是从回归模型里估计出来的，不是原始数据。所以直接用标准的ADF临界值会偏保守。

我建议用MacKinnon（1991）的修正临界值表。不过在实际工作中，我一般直接用p值小于0.05作为判断标准，简单粗暴，效果也还行。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 对残差做ADF检验
adf_result = adfuller(residuals, autolag='AIC')
adf_stat = adf_result[0]
p_value = adf_result[1]
critical_values = adf_result[4]

print(f"ADF统计量: {adf_stat:.4f}")
print(f"p值: {p_value:.4f}")
print(f"1%临界值: {critical_values['1%']:.4f}")
print(f"5%临界值: {critical_values['5%']:.4f}")

if p_value < 0.05:
    print("残差平稳，协整关系成立")
else:
    print("残差不平稳，协整关系不成立")

2.2 残差平稳性的可视化判断

除了数值检验，我习惯画个残差时序图。如果残差看起来像白噪声——围绕0轴上下波动，没有明显趋势——那基本稳了。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(residuals, label='残差序列', color='#2E86AB')
plt.axhline(y=0, color='red', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.title('协整回归残差序列')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('残差值')
plt.legend()
plt.show()

嗯，这里有个小技巧：如果残差图看起来有周期性波动，比如每20个交易日出现一个波峰，那可能是季节性因素没处理好。我建议加入滞后项或者差分项再试试。

2.3 协整关系的强度评估

通过了ADF检验，不代表协整关系就强。我一般还会看两个指标：

• 半衰期（Half-life）： 价差偏离后回归到均值所需时间的一半。半衰期越短，套利机会越多。
• 回归R²： 虽然协整不要求高R²，但如果R²太低（比如小于0.3），说明两个品种的联动性很弱。

半衰期的计算其实很简单：

# 计算半衰期
import numpy as np

# 对残差做一阶自回归
lag_residuals = residuals.shift(1).dropna()
current_residuals = residuals[1:]
theta = np.polyfit(lag_residuals, current_residuals, 1)[0]

half_life = -np.log(2) / np.log(theta)
print(f"半衰期: {half_life:.2f} 个交易日")

我个人习惯：半衰期超过20个交易日的组合，基本就不碰了。等它回归黄花菜都凉了。

好了，Engle-Granger两步法的核心内容就这些。说白了就是：先找关系，再验证关系。听起来简单，但实际做起来坑不少。我建议你拿到数据后，先画图、再检验、最后建模，一步一步来，别跳步。

最后说一句：Engle-Granger两步法虽然经典，但它有个缺点——只能处理一对品种。如果你想做多品种组合的协整分析，那得用Johansen检验。不过那是后面章节的内容了。

今天就到这儿。代码可以直接复制到你的Jupyter Notebook里跑，数据换成你自己的品种就行。