第4章 Johansen协整检验

第4章 Johansen协整检验：多变量协整检验的原理、迹检验与最大特征值检验

好，咱们继续深入。上一章我们聊了EG两步法，那个方法简单粗暴，适合两个品种。但现实中的套利组合，往往不止两个品种。比如我做过一个跨品种策略，同时涉及螺纹钢、热卷和铁矿石，三个品种之间互相影响。这时候再用EG两步法，就有点力不从心了。

为什么？因为EG两步法一次只能检验一对关系。三个品种，两两检验？那结果可能互相矛盾。而且它默认一个变量是因，另一个是果，这在多变量场景下太武断了。

所以，我们需要一个更强大的工具——Johansen协整检验。它一次性就能搞定多个变量，告诉你到底存在几组协整关系。

4.1 为什么需要Johansen检验？

说白了，EG两步法有个硬伤：它假设协整关系只有一个。但多个时间序列之间，可能存在多个稳定的线性组合。你想想看，三个品种，可能有两组不同的套利关系在同时起作用。

我举个例子。假设我们有三个指数：沪深300、中证500和上证50。它们之间可能存在一个长期均衡关系，但也可能存在另一个独立的均衡关系。EG两步法只能找到其中一个，另一个就被忽略了。

Johansen检验的核心思想，就是基于向量自回归模型（VAR），通过检验矩阵的秩，来确定协整关系的个数。嗯，这里要注意，它不预设谁是因谁是果，而是把所有变量都当作内生变量来处理。

4.2 Johansen检验的数学原理

咱们不搞太复杂的数学推导，但核心逻辑得讲清楚。

假设我们有k个时间序列，构成一个k维向量Y_t。我们建立一个VAR(p)模型：

Y_t = Π₁Y_{t-1} + Π₂Y_{t-2} + ... + Π_pY_{t-p} + ε_t

然后，我们把它改写成误差修正形式：

ΔY_t = ΠY_{t-1} + Γ₁ΔY_{t-1} + ... + Γ_{p-1}ΔY_{t-p+1} + ε_t

这里的Π矩阵是关键。它的秩（rank）决定了协整关系的个数。

如果秩为0，说明没有协整关系
如果秩为r（0 < r < k），说明存在r个协整关系
如果秩为k，说明所有序列都是平稳的，不需要协整

Johansen检验就是通过两种统计量来推断这个秩r：迹检验和最大特征值检验。

4.3 迹检验（Trace Test）

迹检验的原假设是：协整关系的个数 ≤ r。备择假设是：协整关系的个数 > r。

它的统计量长这样：

λ_trace(r) = -T * Σ ln(1 - λ_i)   (i = r+1 到 k)

其中λ_i是Π矩阵的特征值，按从大到小排列。T是样本量。

我个人习惯先做迹检验。因为它能一次性告诉你，最多可能存在多少组协整关系。比如检验结果说r=2，那就意味着至少存在两组稳定的线性组合。

我在项目中遇到过这样的情况：迹检验显示r=2，但最大特征值检验显示r=1。这时候怎么办？嗯，我一般会结合经济意义来判断。如果两个组合都有明确的套利逻辑，我就接受r=2；如果其中一个组合看起来像是统计上的巧合，我就保守一点选r=1。

4.4 最大特征值检验（Max-Eigenvalue Test）

最大特征值检验的原假设是：协整关系的个数 = r。备择假设是：协整关系的个数 = r+1。

它的统计量是：

λ_max(r, r+1) = -T * ln(1 - λ_{r+1})

说白了，它是一次只检验一个特征值是否显著。从最大的特征值开始，一个一个往下检验。

这两种检验方法，就像两个不同的侦探。迹检验是广撒网，看看整体有多少线索；最大特征值检验是逐个击破，确认每个线索是否真的成立。

重要提示：两种检验的结果可能不一致。这时候，我建议你参考以下原则：

如果样本量较大（>500），优先相信迹检验
如果样本量较小，最大特征值检验更稳健
如果两者冲突，取较小的r值，避免过度拟合

4.5 Python实战：用statsmodels做Johansen检验

理论讲完了，咱们直接上代码。我用的是Python的statsmodels库，它内置了Johansen检验函数。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.tsa.vector_ar.vecm as vecm
import yfinance as yf

# 下载三个ETF数据
tickers = ['SPY', 'QQQ', 'IWM']  # 标普500、纳斯达克、罗素2000
data = yf.download(tickers, start='2020-01-01', end='2023-12-31')['Adj Close']

# 取对数价格
log_prices = np.log(data)

# 进行Johansen检验
# det_order = 0 表示没有确定性趋势，1表示有常数项，2表示有常数项和趋势项
# k_ar_diff 是差分项的滞后阶数
johansen_result = vecm.coint_johansen(log_prices, det_order=1, k_ar_diff=1)

# 输出结果
print("特征值：", johansen_result.eig)
print("迹统计量：", johansen_result.lr1)
print("迹统计量临界值（90%, 95%, 99%）：", johansen_result.cvt)
print("最大特征值统计量：", johansen_result.lr2)
print("最大特征值统计量临界值（90%, 95%, 99%）：", johansen_result.cvm)

运行这段代码，你会得到类似这样的输出：

特征值： [0.0234, 0.0089, 0.0012]
迹统计量： [45.67, 12.34, 1.56]
迹统计量临界值（90%, 95%, 99%）： [[27.07, 29.80, 35.46],
                                      [13.43, 15.49, 19.94],
                                      [2.71, 3.84, 6.63]]
最大特征值统计量： [33.33, 10.78, 1.56]
最大特征值统计量临界值（90%, 95%, 99%）： [[18.89, 21.13, 25.86],
                                          [12.30, 14.26, 18.52],
                                          [2.71, 3.84, 6.63]]

怎么解读？

迹检验：第一个统计量45.67 > 35.46（99%临界值），拒绝r=0。第二个统计量12.34 < 13.43（90%临界值），不能拒绝r≤1。所以迹检验认为存在1个协整关系。
最大特征值检验：第一个统计量33.33 > 25.86（99%临界值），拒绝r=0。第二个统计量10.78 < 12.30（90%临界值），不能拒绝r=1。所以最大特征值检验也认为存在1个协整关系。

两者一致，结论很明确：这三个ETF之间存在1个协整关系。

避坑指南：我曾经在实盘回测时，发现Johansen检验的结果非常不稳定。后来排查发现，是滞后阶数选错了。建议用AIC或BIC准则来选择最优滞后阶数，不要随便设一个值。

4.6 如何选择滞后阶数？

滞后阶数p的选择，直接影响检验结果。选小了，残差可能有自相关；选大了，自由度损失太多。

我一般用statsmodels的select_order函数：

from statsmodels.tsa.vector_ar.var_model import VAR

model = VAR(log_prices)
lag_order = model.select_order(maxlags=10)
print(lag_order.summary())

它会输出AIC、BIC、HQIC等准则的建议值。我个人习惯用BIC，因为它对复杂模型惩罚更重，不容易过拟合。

4.7 知识体系总览

为了让你更直观地理解本章的知识结构，我画了一张图：

4.8 实战中的注意事项

最后，分享几个我在实战中踩过的坑：

数据频率要一致：别把日线数据和周线数据混在一起检验，结果会乱套。
样本量要足够：Johansen检验对样本量敏感，至少要有100个以上的观测值。
确定性趋势要选对：det_order参数很关键。如果数据有明显趋势，选2；如果没有趋势，选0或1。我一般先画个图看看趋势。
不要过度解读：统计上显著，不代表经济上有意义。我曾经发现一个协整关系，但实际套利时滑点就把利润吃掉了。

警告：Johansen检验对异常值非常敏感。如果数据中有明显的跳空或极端值，建议先做预处理。我习惯用3倍标准差法剔除异常点，或者用中位数平滑。

好了，这一章的内容就到这里。Johansen检验是跨品种套利的核心工具，掌握了它，你就能处理更复杂的多品种组合。下一章我们会讲如何利用协整关系构建实际的套利策略，包括如何确定权重、设置阈值、管理风险等。

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