第3章违约概率（PD）估计

3、违约概率（PD）估计：历史违约率法、Merton模型、Logit/Probit回归模型

聊到信用风险，最核心的问题就一个：这个对手到底有多大概率会违约？

PD（Probability of Default）估计，说白了就是回答这个问题。我做了这么多年量化，见过太多人把PD当成一个静态数字来用，结果模型一上线就崩。其实PD估计是个动态过程，不同场景、不同数据条件下，方法选择天差地别。

今天咱们就掰开揉碎，聊聊三种最主流的PD估计方法：历史违约率法、Merton模型、Logit/Probit回归。这三种方法，分别对应了「没数据怎么办」、「有市场数据怎么办」、「有财务数据怎么办」三种场景。

核心逻辑图：三种方法适用场景与数据需求

3.1 历史违约率法：最朴素，也最容易被坑

这个方法，说白了就是「过去怎么违约的，未来就怎么违约」。你统计过去N年里，某个评级或某个行业里有多少家违约了，除一下总数，就是PD。

举个例子：

# 历史违约率计算示例
import pandas as pd

# 假设我们有5年数据，每年跟踪1000家BBB级公司
data = {
    'year': [2019, 2020, 2021, 2022, 2023],
    'total_firms': [1000, 1000, 1000, 1000, 1000],
    'defaults': [2, 5, 3, 8, 4]
}
df = pd.DataFrame(data)
df['pd'] = df['defaults'] / df['total_firms']
print(df)
# 平均PD
avg_pd = df['pd'].mean()
print(f"5年平均违约概率: {avg_pd:.4%}")

嗯，这里要注意。历史违约率法最大的坑是什么？样本偏差。我2015年给一家银行做内部评级系统时，他们用了10年的历史数据，结果发现违约率逐年下降。当时团队很开心，觉得风控做得好。我一看数据——不对啊，这10年里经济一直上行，根本没经历过衰退期。这种PD拿到经济下行期用，会死得很惨。

避坑指南：历史违约率法假设「过去=未来」，但信用周期是波动的。我建议至少覆盖一个完整的经济周期（7-10年），并且对极端年份做压力测试调整。

另外，样本量太小怎么办？比如你只跟踪了50家小企业，一年违约1家，PD就是2%。但第二年违约0家，PD变成0%。这波动也太大了。这时候可以用贝叶斯调整，引入先验分布来平滑估计。

3.2 Merton模型：把公司当成一个期权来定价

这个方法很有意思。Merton在1974年提出一个想法：公司的股权，本质上是一个看涨期权。

你想想看，公司资产价值V，负债面值D（假设是零息债券，到期日T）。如果到期时V > D，股东还债后还有剩余；如果V < D，股东就违约，把公司扔给债权人。这不就是一个执行价为D的看涨期权吗？

那么违约概率就是：到期时资产价值V低于负债D的概率。

数学上，假设公司资产价值服从几何布朗运动：

dV = μV dt + σV dW

那么违约概率PD = N(-d2)，其中：

d2 = [ln(V/D) + (r - σ²/2)T] / (σ√T)

N(·)是标准正态分布函数。这个d2，其实就是「距离违约的距离」，单位是标准差。

实际应用中，V和σ是观测不到的。我们只能看到股价E和股价波动率σ_E。所以需要解一个方程组：

import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import fsolve

def merton_pd(E, sigma_E, D, r, T):
    """
    用Merton模型估计违约概率
    E: 股权市值
    sigma_E: 股权波动率
    D: 负债面值
    r: 无风险利率
    T: 债务期限
    """
    def equations(vars):
        V, sigma_V = vars
        d1 = (np.log(V/D) + (r + 0.5*sigma_V**2)*T) / (sigma_V*np.sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma_V*np.sqrt(T)
        # 两个方程：股权价值公式、波动率公式
        eq1 = V * norm.cdf(d1) - D * np.exp(-r*T) * norm.cdf(d2) - E
        eq2 = (V * norm.cdf(d1) / E) * sigma_V - sigma_E
        return [eq1, eq2]
    
    # 初始猜测：V ≈ E + D, sigma_V ≈ sigma_E * E/(E+D)
    V_init = E + D
    sigma_init = sigma_E * E / (E + D)
    V, sigma_V = fsolve(equations, [V_init, sigma_init])
    
    d2 = (np.log(V/D) + (r - 0.5*sigma_V**2)*T) / (sigma_V*np.sqrt(T))
    pd = norm.cdf(-d2)
    return pd, V, sigma_V

# 示例：某上市公司
pd, V, sigma_V = merton_pd(E=100e8, sigma_E=0.35, D=80e8, r=0.03, T=1)
print(f"Merton模型PD: {pd:.4%}")
print(f"隐含资产价值: {V:.2e}")
print(f"隐含资产波动率: {sigma_V:.2%}")

个人经验：Merton模型对上市公司特别好用，但要注意——它假设负债结构简单（只有一期零息债），现实中公司负债是分层的。我一般会把短期负债+50%长期负债作为D，效果还不错。

Merton模型的优点是什么？前瞻性。股价每天都在变，所以PD也每天更新，能快速反映市场情绪。缺点也很明显：只适用于上市公司，而且对资本结构假设太强。

3.3 Logit/Probit回归：把PD和财务指标挂钩

这个方法，说白了就是：用公司的财务指标来预测它会不会违约。

为什么用Logit或Probit？因为违约是个0/1变量，线性回归会预测出负的概率或者大于1的概率，不合理。Logit和Probit通过一个非线性变换，把线性组合映射到[0,1]区间。

Logit模型的形式：

P(Y=1|X) = 1 / (1 + exp(-(β₀ + β₁X₁ + ... + βₖXₖ)))

Probit模型用标准正态分布的CDF代替Logistic函数：

P(Y=1|X) = Φ(β₀ + β₁X₁ + ... + βₖXₖ)

两者差别不大，Logit的尾部更厚一些，我个人习惯用Logit，因为解释起来方便——系数取指数就是odds ratio。

来看一个实际例子：

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# 模拟数据：1000家公司，5个财务指标
np.random.seed(42)
n = 1000
data = pd.DataFrame({
    'leverage': np.random.uniform(0.1, 0.9, n),      # 资产负债率
    'liquidity': np.random.uniform(0.5, 2.5, n),     # 流动比率
    'profitability': np.random.uniform(-0.1, 0.2, n), # 资产收益率
    'size': np.random.uniform(10, 25, n),             # 总资产对数
    'coverage': np.random.uniform(0.5, 5.0, n)        # 利息覆盖倍数
})

# 生成违约标签（用真实逻辑模拟）
log_odds = (2*data['leverage'] - 1.5*data['liquidity'] 
            - 3*data['profitability'] - 0.1*data['size'] 
            - 0.5*data['coverage'] + 1)
prob = 1 / (1 + np.exp(-log_odds))
data['default'] = np.random.binomial(1, prob)

# 拟合Logit模型
X = data[['leverage', 'liquidity', 'profitability', 'size', 'coverage']]
X = sm.add_constant(X)
y = data['default']

model = sm.Logit(y, X)
result = model.fit()
print(result.summary())

# 预测PD
data['predicted_pd'] = result.predict(X)
print(f"预测PD范围: [{data['predicted_pd'].min():.4%}, {data['predicted_pd'].max():.4%}]")

关键点：Logit模型的好坏，90%取决于特征工程。我见过太多人直接把20个财务指标扔进去跑回归，结果模型过拟合得一塌糊涂。我建议先做单变量分析，筛选出5-8个有经济含义的指标，再考虑交互项和非线性项。

选哪些指标？我一般会从五个维度入手：

杠杆维度：资产负债率、负债/EBITDA
流动性维度：流动比率、速动比率
盈利维度：ROA、ROE、毛利率
规模维度：总资产对数、营业收入对数
覆盖维度：利息覆盖倍数、现金流/总负债

我曾经给一家城商行做小微企业信用评分卡，一开始模型AUC只有0.65，怎么调都不行。后来发现，问题出在数据质量上——很多小微企业的财务报表是「做」出来的，不是「算」出来的。后来我们加入了税务数据和水电费数据作为替代指标，AUC直接跳到0.82。嗯，数据比模型重要，这句话在信用风险领域尤其适用。

3.4 三种方法怎么选？

我个人的经验法则：

场景	推荐方法	理由
有长期历史违约数据	历史违约率法	简单透明，监管认可
上市公司，有市场数据	Merton模型	前瞻性强，每日更新
非上市公司，有财务数据	Logit/Probit回归	灵活，可加入多维度因子
需要监管合规（巴塞尔）	历史违约率法 + Logit	历史法做基准，Logit做区分

实际项目中，我很少只用一种方法。比如给一家股份制银行做内部评级体系时，我们用了Merton模型做上市公司PD，Logit模型做非上市公司PD，然后用历史违约率法做校准——把模型输出的PD映射到历史平均违约水平上，保证长期均值合理。

一个小技巧：无论用哪种方法，最终PD都要做周期调整。我习惯用「穿越周期法」（Through-the-Cycle, TTC），把PD平滑掉短期波动，这样在信贷审批时更稳定，不会因为市场一波动就大幅调整信贷政策。

好了，三种方法都聊完了。记住一句话：没有最好的模型，只有最合适的模型。数据条件、业务场景、监管要求，这三者决定了你该选哪个。下次你遇到PD估计的问题，不妨先问问自己：我有什么数据？我要预测什么场景？监管认不认？想清楚这三个问题，方法自然就出来了。

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321

📚 课程目录

3、违约概率（PD）估计：历史违约率法、Merton模型、Logit/Probit回归模型

3.1 历史违约率法：最朴素，也最容易被坑

3.2 Merton模型：把公司当成一个期权来定价

3.3 Logit/Probit回归：把PD和财务指标挂钩

3.4 三种方法怎么选？