3. 协整理论与检验

协整，这个词听起来挺唬人的。说白了，就是两个或多个看起来随机乱跑的时间序列，它们之间其实存在一种长期稳定的关系。我刚开始接触这个概念时，也觉得有点绕。你想想看，如果两个序列各自都是随机游走，那它们按理说应该各走各的才对。但现实中有很多这样的例子——比如沪深300和上证50，短期看各自波动，长期看却总往一块儿凑。

为什么会这样？因为它们背后有共同的经济力量在牵引。这就是协整的核心思想。

协整的数学定义

先给个严谨的定义。设 y_t 和 x_t 都是 I(1) 序列（一阶单整），如果存在一个系数 β，使得：

zt = yt - β·xt ~ I(0)

那么我们就说 y_t 和 x_t 是协整的。这里的 β 叫协整系数，z_t 叫协整残差。

嗯，这里要注意：协整的前提是两个序列必须同阶单整。一个 I(1) 和一个 I(2) 是不可能协整的。我在项目中遇到过有人拿 I(1) 和 I(0) 去做协整检验，结果跑出来一堆假信号，亏了不少手续费。

Engle-Granger 两步法

这是最经典的协整检验方法，1987年由 Engle 和 Granger 提出。我个人习惯叫它「EG两步法」，简单粗暴，适合入门。

第一步：估计协整关系

用 OLS 回归估计：

yt = α + β·xt + εt

得到残差序列 ê_t = y_t - α̂ - β̂·x_t

第二步：检验残差的平稳性

对残差 ê_t 做 ADF 检验。如果残差是平稳的，就说明存在协整关系。

这里有个坑——EG两步法的临界值不能用标准的 ADF 临界值。因为残差是从回归中估计出来的，不是真实的误差项。我曾经在这个问题上栽过跟头，用标准临界值判断出协整，结果实盘一跑就崩。后来查了文献才知道，要用 MacKinnon 专门为协整检验提供的临界值表。

Johansen 检验

EG两步法有个明显的局限——它只能处理一个协整关系。但现实中，多个变量之间可能存在多个协整关系。比如五只银行股，可能有两三个不同的长期均衡关系在同时起作用。

Johansen 检验就是来解决这个问题的。它基于 VAR 模型，通过特征根迹检验和最大特征值检验，来判断协整关系的个数。

我个人觉得，Johansen 检验比 EG 法更优雅。它不需要先指定哪个是因变量哪个是自变量，所有变量一视同仁。而且它能告诉你到底存在几个协整关系——是1个、2个还是更多。

不过，Johansen 检验对滞后阶数的选择比较敏感。我建议用 AIC 或 BIC 准则来选择滞后阶数，别拍脑袋定。

方法	适用场景	优点	缺点
EG两步法	两个变量	简单直观，容易实现	只能处理一个协整关系，小样本偏差大
Johansen检验	多个变量	能检测多个协整关系，不依赖变量顺序	对滞后阶数敏感，计算复杂

Python 中的协整检验实现

statsmodels 库提供了现成的工具。我平时最常用的是 coint() 函数，它直接封装了 EG两步法。

import statsmodels.api as sm
import numpy as np

# 模拟两个协整序列
np.random.seed(42)
n = 200
x = np.random.randn(n).cumsum()  # I(1)
y = x * 0.8 + np.random.randn(n) * 0.5  # 协整关系

# EG两步法检验
coint_result = sm.tsa.stattools.coint(y, x)
print(f"ADF统计量: {coint_result[0]:.4f}")
print(f"p值: {coint_result[1]:.4f}")
print(f"临界值(1%, 5%, 10%): {coint_result[2]}")

# 判断是否协整
if coint_result[1] < 0.05:
    print("存在协整关系（p < 0.05）")
else:
    print("不存在协整关系")

对于 Johansen 检验，statsmodels 提供了 coint_johansen() 函数：

from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen

# 准备数据（多变量）
data = np.column_stack([y, x, np.random.randn(n).cumsum()])

# Johansen检验
johansen_result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)

print("特征值:", johansen_result.eig)
print("迹统计量:", johansen_result.lr1)
print("最大特征值统计量:", johansen_result.lr2)
print("95%临界值(迹):", johansen_result.cvt)
print("95%临界值(最大特征值):", johansen_result.cvm)

协整检验的完整流程

在实际项目中，我通常按这个步骤来：

1. 单位根检验：确认所有变量都是 I(1) 序列
2. 选择方法：两个变量用 EG，多个变量用 Johansen
3. 确定滞后阶数：用 AIC/BIC 选择最优滞后
4. 执行检验：跑代码，看 p 值和统计量
5. 验证稳健性：换样本期、换参数，看结论是否稳定

最后一步特别重要。我见过太多人跑一次检验就以为找到了圣杯，结果换了个时间窗口结论就变了。协整关系是会随时间变化的，尤其是市场环境发生重大变化时。

下面这张图展示了协整检验的核心逻辑，从数据准备到最终决策的完整链路：

协整检验是统计套利的基石。没有它，所谓的配对交易就是空中楼阁。我建议你拿到数据后，先把协整检验跑通，再考虑后面的策略设计。这一步走扎实了，后面的路会顺很多。