4. 价差建模与均值回归：价差的平稳性检验（ADF检验）、均值回归速度（半衰期）、Ornstein-Uhlenbeck过程简介

做统计套利，说白了就是赌价差会回归。但有个前提——你得先确认这个价差确实有回归的“习惯”。如果它像脱缰的野马一样越跑越远，那你的策略就变成接飞刀了。

我个人习惯，拿到一组价差数据后，第一件事不是建模，而是问三个问题：

• 它平稳吗？
• 回归速度有多快？
• 用什么模型来描述它？

这一章，我们就来逐一拆解。

4.1 平稳性检验：ADF检验

平稳性，简单理解就是价差的统计性质（均值、方差）不随时间变化。如果价差均值一直在漂移，那你没法判断当前是“高”还是“低”。

ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是最常用的方法。它的原假设是：序列存在单位根（即不平稳）。

我在项目中遇到过很多次，新手看到p值小于0.05就欢呼“平稳了”，其实没那么简单。ADF检验对滞后阶数很敏感，选错了阶数，结果可能完全相反。

下面是我常用的Python实现：

import statsmodels.tsa.stattools as ts

def check_stationarity(spread):
    result = ts.adfuller(spread, autolag='AIC')
    print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
    print(f'p值: {result[1]:.4f}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'  {key}: {value:.4f}')
    
    if result[1] < 0.05:
        print('结论：价差平稳，适合做均值回归策略')
    else:
        print('结论：价差不平稳，需要差分或换标的')

4.2 均值回归速度：半衰期

假设价差现在是偏离的，它需要多久才能回到均值？这个时间就是半衰期（Half-life）。

为什么要关心这个？你想想看，如果半衰期是3天，那你可以放心持仓几天。如果半衰期是3个月，那你的资金成本可能就把利润吃掉了。

半衰期的计算，其实来自Ornstein-Uhlenbeck过程。具体公式是：

半衰期 = ln(2) / θ

其中θ是回归速度参数，可以通过线性回归估计。

我曾经踩过一个坑：用日线数据算出的半衰期是5天，但实际交易中发现价差经常2天就回归了。后来才发现，是因为数据频率太低，丢失了日内回归的细节。所以，半衰期要跟你实际交易的频率匹配。

计算代码：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

def half_life(spread):
    spread_lag = spread.shift(1).dropna()
    spread_diff = spread.diff().dropna()
    
    # 对齐数据
    y = spread_diff.values
    x = spread_lag.values.reshape(-1, 1)
    
    model = LinearRegression().fit(x, y)
    theta = -model.coef_[0]
    
    hl = np.log(2) / theta
    return hl, theta

hl, theta = half_life(spread)
print(f'回归速度θ: {theta:.4f}')
print(f'半衰期: {hl:.2f} 天')

4.3 Ornstein-Uhlenbeck过程简介

Ornstein-Uhlenbeck过程（简称OU过程），是描述均值回归最经典的数学模型。它的数学形式是：

dX(t) = θ(μ - X(t))dt + σdW(t)

别被公式吓到，我来拆解一下：

• θ(μ - X(t))dt：这是“拉力”项。当X偏离均值μ时，θ会把X往回拉。θ越大，拉力越强。
• σdW(t)：这是随机扰动项。市场总有噪音，σ控制噪音的大小。

说白了，OU过程就是：价差像一个被弹簧拴住的球，弹簧想把它拉回中心，但市场噪音一直在推它。

我在实盘中使用OU过程时，最关注三个参数：

参数	含义	对策略的影响
μ（均值）	长期均衡价差	决定开仓和平仓的参考线
θ（回归速度）	回归的强度	决定持仓周期和资金占用
σ（波动率）	随机噪音大小	决定止损宽度和仓位大小

拟合OU参数，除了前面提到的线性回归法，还可以用最大似然估计（MLE）。我个人更推荐MLE，因为它能同时估计所有参数，而且统计性质更好。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def ou_mle(spread):
    def neg_log_likelihood(params):
        mu, theta, sigma = params
        n = len(spread)
        dt = 1
        
        # 计算似然函数
        ll = 0
        for i in range(1, n):
            x_prev = spread[i-1]
            x_curr = spread[i]
            mean = x_prev * np.exp(-theta*dt) + mu * (1 - np.exp(-theta*dt))
            var = (sigma**2 / (2*theta)) * (1 - np.exp(-2*theta*dt))
            ll += -0.5 * np.log(2*np.pi*var) - (x_curr - mean)**2 / (2*var)
        
        return -ll
    
    # 初始值
    init_params = [np.mean(spread), 0.5, np.std(spread)]
    result = minimize(neg_log_likelihood, init_params, method='L-BFGS-B')
    
    mu, theta, sigma = result.x
    hl = np.log(2) / theta
    
    return {
        'mu': mu,
        'theta': theta,
        'sigma': sigma,
        'half_life': hl
    }

4.4 知识体系总览

下面这张图，把本章的核心逻辑串起来了：

从这张图可以看得很清楚：价差序列进来后，经过ADF检验确认平稳性，再计算半衰期评估回归速度，最后用OU过程完整建模。三个步骤缺一不可。

嗯，这一章的内容就到这里。记住一句话：没有经过平稳性检验的均值回归策略，就是在赌博。下一章我们会聊如何用这些参数构建具体的交易信号，到时候见。

---

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321