2、相机成像模型：针孔相机模型、世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系
做双目标定，第一个绕不开的概念就是相机成像模型。说白了，相机是怎么把三维世界里的一个点，变成二维照片上的一个像素的？
我个人习惯把这个问题拆成两步来理解：第一步是几何投影，也就是光线怎么走；第二步是坐标变换，也就是点在不同坐标系之间怎么换算。今天我们就把这套东西彻底讲透。
2.1 针孔相机模型——最朴素的成像原理
你想想看，最早的相机其实就是个暗箱，前面戳个小孔，光线透过小孔在后面的感光面上成像。这就是针孔相机模型的原型。
这个模型做了三个理想化假设：
- 光线沿直线传播（不考虑衍射）
- 小孔足够小（保证成像清晰）
- 像平面是平的（忽略镜头畸变）
实际镜头当然比这复杂得多，但针孔模型是理解所有相机几何的基础。我在项目中调试畸变校正时，经常先拿针孔模型算一遍理论值，再跟实际图像对比，偏差一目了然。
x = f * X / Z
y = f * Y / Z2.2 四个坐标系——从世界到像素的完整链条
一个三维点要变成像素坐标，中间要经过四次坐标变换。我刚开始学的时候总觉得绕，后来画了个流程图就清楚了。
2.3 世界坐标系 → 相机坐标系（外参）
世界坐标系是我们定义三维空间的基准。你可以把标定板放在桌上，棋盘格角点所在的坐标系就是世界坐标系。
相机坐标系呢？它以相机光心为原点，Z轴指向镜头前方。从世界坐标到相机坐标，说白了就是一个刚体变换：旋转 + 平移。
数学表达很简单：
[Xc] [R11 R12 R13] [Xw] [Tx]
[Yc] = [R21 R22 R23] [Yw] + [Ty]
[Zc] [R31 R32 R33] [Zw] [Tz]这里的 R 和 t 就是相机外参。双目标定要算两个相机的各自外参，还要算它们之间的相对位姿。
2.4 相机坐标系 → 图像坐标系（内参投影）
这一步就是针孔模型的核心了。三维点 (Xc, Yc, Zc) 投影到像平面上，变成 (x, y)。
公式就是前面说的：
x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc注意这里有个除法，所以成像模型本质上是非线性的。这也是为什么后来要引入齐次坐标来线性化处理。
2.5 图像坐标系 → 像素坐标系（离散化）
图像坐标系 (x, y) 的单位是毫米，是连续的物理坐标。但相机最终输出的是像素，所以需要离散化。
这个变换很简单：
u = x / dx + u0
v = y / dy + v0其中：
- dx, dy：每个像素在x、y方向上的物理尺寸（mm/pixel）
- u0, v0：主点（光轴与像平面交点）的像素坐标
把这些参数合起来，就得到了相机内参矩阵 K：
[fx 0 u0]
K = [ 0 fy v0]
[ 0 0 1]其中 fx = f/dx，fy = f/dy，是焦距的像素表示。
2.6 完整变换——从世界到像素
把上面三步串起来，一个世界点 Pw 到像素点 p 的完整变换就是：
p = K * [R | t] * Pw用齐次坐标写得更清楚：
[u] [fx 0 u0] [R11 R12 R13 Tx] [Xw]
[v] = [0 fy v0] [R21 R22 R23 Ty] [Yw]
[1] [0 0 1] [R31 R32 R33 Tz] [Zw]
[0 0 0 1 ] [1 ]2.7 畸变模型——现实世界的修正
针孔模型是理想情况。实际镜头都有畸变，主要是两种：
| 畸变类型 | 产生原因 | 数学模型 | 典型表现 |
|---|---|---|---|
| 径向畸变 | 透镜形状不完美 | k1, k2, k3 三个参数 | 图像边缘弯曲（桶形/枕形） |
| 切向畸变 | 镜头与像平面不平行 | p1, p2 两个参数 | 图像倾斜变形 |
畸变校正的公式我就不列了，OpenCV 的 cv2.calibrateCamera() 会自动帮你算。但我要提醒一句：畸变参数和相机内参是耦合的，标定时要一起优化。
2.8 本章小结
相机成像模型，说白了就是回答一个问题：三维世界的一个点，最终落在像素图像的哪个位置？
答案分三步：
- 世界坐标 → 相机坐标（外参：旋转+平移）
- 相机坐标 → 图像坐标（内参：针孔投影）
- 图像坐标 → 像素坐标（内参：离散化+主点偏移）
再加上畸变模型做修正，就是完整的相机几何模型。双目标定要解的，就是这些参数。
嗯，这套模型我用了快十年，每次遇到标定精度问题，回头检查的永远是这几个坐标系之间的变换关系。基础打牢了，后面立体匹配、深度计算才不会跑偏。