3、相机内参矩阵：内参矩阵的物理意义、焦距与主点、内参矩阵的数学表达

好，咱们今天聊聊相机内参矩阵。这东西，说白了就是相机的「身份证」。你想想看，一台相机拍出来的照片，像素坐标和真实世界的三维点之间，到底是怎么对应的？内参矩阵就是那个桥梁。

我刚开始做双目视觉那会儿，总觉得内参矩阵就是个公式，套进去算就完了。直到有一次，标定出来的结果怎么都对不上，重投影误差大得离谱。折腾了两天，最后发现是主点坐标搞错了。嗯，从那以后，我对内参矩阵的每一个参数都格外上心。

3.1 内参矩阵到底在描述什么？

咱们先抛开公式，用大白话理解一下。相机成像，本质上是把三维空间里的点，投影到二维图像平面上。这个投影过程，由两部分决定：

• 相机本身的光学特性：比如镜头焦距、感光芯片的尺寸、像素的排列方式。
• 相机在空间中的位置：这个由外参矩阵负责，咱们后面再聊。

内参矩阵，就是描述「相机本身光学特性」的那部分。它告诉你：

• 一个三维点，在相机坐标系下，最终会落在图像平面的哪个像素上。
• 这个映射关系是线性的，可以用一个 3x3 的矩阵完美表达。

3.2 焦距与主点：两个最关键的参数

内参矩阵里，最重要的两个概念就是焦距和主点。我习惯把它们拆开来看。

3.2.1 焦距（f_x, f_y）

焦距，大家都不陌生。镜头参数上写的 16mm、35mm，指的就是这个。但在内参矩阵里，焦距的单位不是毫米，而是像素。

为什么会这样？

你想想看，一个物理焦距为 16mm 的镜头，装在两台不同分辨率的相机上，拍出来的照片大小肯定不一样。所以，我们需要把物理焦距换算成像素单位，才能和图像坐标直接打交道。

换算公式很简单：

f_x = F / s_x
f_y = F / s_y

其中：

• F：物理焦距（单位：毫米）
• s_x, s_y：每个像素在 x 和 y 方向上的物理尺寸（单位：毫米/像素）

我在项目中遇到过一台工业相机，厂家给的参数里 s_x 和 s_y 写反了。结果标定出来的 f_x 和 f_y 差了好几十，怎么调都调不对。后来一查手册才发现问题。所以，拿到新相机，第一件事就是确认像素尺寸。

3.2.2 主点（c_x, c_y）

主点，就是光轴与图像平面的交点。理论上，它应该在图像的正中心。但实际生产中，由于镜头安装的微小偏差，主点往往不在正中心。

我见过最夸张的一次，一台廉价 USB 摄像头，主点偏了将近 20 个像素。如果不校正，做双目立体匹配时，视差图会整体偏移，测出来的距离全都不准。

主点的物理意义很简单：

• c_x：光轴在图像上的 x 坐标（单位：像素）
• c_y：光轴在图像上的 y 坐标（单位：像素）

对于一张 640x480 的图像，理想情况下 c_x = 320，c_y = 240。但实际标定出来的值，往往会有几个像素的偏差。

3.3 内参矩阵的数学表达

好了，咱们现在用数学语言把上面这些概念串起来。内参矩阵 K 是一个 3x3 的上三角矩阵：

K = | f_x   0   c_x |
    |  0   f_y  c_y |
    |  0    0    1  |

这个矩阵的作用，就是把相机坐标系下的一个三维点 P = (X, Y, Z) 映射到图像像素坐标系下的点 p = (u, v)：

| u |   | f_x   0   c_x |   | X |
| v | = |  0   f_y  c_y | * | Y |
| 1 |   |  0    0    1  |   | Z |

展开来写就是：

u = f_x * (X / Z) + c_x
v = f_y * (Y / Z) + c_y

你看，这个公式非常直观：

• X/Z 和 Y/Z：就是归一化平面上的坐标，说白了就是「去掉深度影响后的位置」。
• f_x, f_y：把归一化坐标缩放到像素尺度。
• c_x, c_y：加上主点偏移，得到最终的像素坐标。

3.4 知识体系结构图

下面这张图，把内参矩阵的核心逻辑串起来了。我建议你多看几遍，理解每个参数是怎么来的，又是怎么用的。

3.5 实际应用中的注意事项

内参矩阵看着简单，但实际用起来有几个坑，我帮你列出来：

1. f_x 和 f_y 不相等怎么办？

   很正常，尤其是用 CMOS 相机时，像素可能不是正方形。标定出来不一样，别慌，直接用就行。

2. 主点偏得离谱？

   如果 c_x 和 c_y 偏离图像中心超过 10%，建议检查一下镜头安装是否歪了，或者标定板图像是否拍全了。

3. 内参矩阵会变吗？

   会！变焦镜头、自动对焦、温度变化，都会导致内参变化。所以，每次重新安装相机，或者环境变化较大时，我建议重新标定一次。

好了，内参矩阵就聊到这儿。记住，它是你理解相机成像的起点，也是双目标定的基石。把这个搞透了，后面的立体校正和深度计算，你会觉得顺理成章。

---

公众号:蓝海资料掘金营，微信deep3321