2. 时间序列基础回顾：平稳性、单位根、差分操作、白噪声过程

做量化交易这些年，我踩过最大的坑，就是拿非平稳数据直接跑回归。结果呢？看着R²高达0.95，实盘一跑就亏成狗。说白了，那就是伪回归——两个毫无关系的随机游走，硬是被你算出了“相关性”。

所以，在讲协整之前，咱们必须把时间序列的基础打牢。这一章，我带你回顾四个核心概念：平稳性、单位根、差分操作、白噪声。嗯，都是老朋友了，但咱们得换个角度重新认识它们。

2.1 平稳性：时间序列的“定海神针”

什么叫平稳？我个人的理解很简单：统计性质不随时间变化。具体来说，就是均值、方差、自协方差都是常数，不依赖你观察的时间点。

数学上，严平稳要求联合分布完全不变，太苛刻了。实际中我们常用弱平稳（宽平稳）：

  • 均值恒定：E(Xt) = μ
  • 方差恒定：Var(Xt) = σ²
  • 自协方差只与时间间隔有关：Cov(Xt, Xt-k) = γ(k)

我在项目中遇到过最典型的非平稳序列，就是股票价格。你想想看，茅台股价从200块涨到2000块，均值一直在变，怎么可能平稳？但收益率序列往往就平稳了。这就是为什么我们做量化，很少直接拿价格建模。

重要提醒：协整关系研究的是非平稳序列之间的长期均衡关系。所以，别一看到非平稳就急着差分——先看看它能不能跟别的序列“配对”。

2.2 单位根：平稳性的“照妖镜”

怎么判断一个序列是否平稳？最常用的方法就是单位根检验。

考虑一个AR(1)模型：

Xt = φXt-1 + εt

如果|φ| < 1，序列平稳；如果φ = 1，就出现了单位根，序列非平稳。为什么叫“单位根”？因为特征方程1 - φz = 0的根z = 1/φ，当φ=1时根就在单位圆上。

我最常用的单位根检验是ADF检验（Augmented Dickey-Fuller）。它的原假设H₀：序列存在单位根（非平稳）。p值小于0.05，就拒绝原假设，认为序列平稳。

来看个Python示例：

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 生成一个随机游走（含单位根）
np.random.seed(42)
n = 200
random_walk = np.cumsum(np.random.randn(n))

# ADF检验
result = adfuller(random_walk)
print(f'ADF统计量: {result[0]:.4f}')
print(f'p值: {result[1]:.4f}')
print(f'临界值(1%): {result[4]["1%"]:.4f}')

# 输出：p值通常大于0.05，无法拒绝单位根假设

我的经验：ADF检验对滞后阶数很敏感。我一般用AIC或BIC自动选择滞后阶数，别手动瞎调。曾经有一次，我手动选了滞后2阶，结果p值0.04，换了自动选择变成0.08——差点犯错误。

2.3 差分操作：把非平稳“掰”成平稳

如果序列有单位根，怎么办？最直接的办法就是差分。

一阶差分：ΔXt = Xt - Xt-1

对于随机游走Xt = Xt-1 + εt，一阶差分后就是白噪声εt，平稳了。

但注意：差分次数不是越多越好。过度差分会丢失信息，甚至引入负的自相关。我见过有人把已经平稳的序列再差分，结果自相关函数变得乱七八糟。

怎么判断差分次数够了？看两个指标：

  • ADF检验：差分后p值小于0.05
  • 自相关图（ACF）：快速衰减到置信区间内
# 对随机游走做一阶差分
diff_series = np.diff(random_walk)

# 再次ADF检验
result_diff = adfuller(diff_series)
print(f'差分后p值: {result_diff[1]:.4f}')
# 输出：p值通常远小于0.05，序列变得平稳

注意：协整分析中，我们通常不直接差分原始价格序列。因为协整研究的是价格之间的长期关系，差分后反而会丢失这个信息。记住：协整是“非平稳序列的线性组合变得平稳”，而不是“把每个序列都差分到平稳”。

2.4 白噪声过程：最“干净”的随机性

白噪声，说白了就是纯随机。每个时间点的值独立同分布，均值为0，方差恒定，没有任何自相关。

数学定义：

  • E(εt) = 0
  • Var(εt) = σ²
  • Cov(εt, εs) = 0，对于t ≠ s

白噪声是时间序列建模的“基准”。如果你的模型残差不是白噪声，说明还有信息没被提取出来，模型需要改进。

怎么检验残差是不是白噪声？我常用Ljung-Box检验：

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

# 生成白噪声
white_noise = np.random.randn(200)

# Ljung-Box检验
lb_result = acorr_ljungbox(white_noise, lags=[10], return_df=True)
print(lb_result)
# p值通常大于0.05，不能拒绝“残差是白噪声”的原假设

一个小技巧：我习惯在建模后，先看残差的ACF图。如果前几个滞后的自相关系数都落在蓝色置信区间内，基本就是白噪声了。Ljung-Box检验只是给个正式的p值确认一下。

2.5 本章知识体系

下面这张图，帮你理清本章的核心逻辑：

时间序列基础 平稳性 单位根检验 差分操作 白噪声过程 均值/方差/自协方差恒定 严平稳 vs 弱平稳 ADF检验 原假设：存在单位根 一阶差分：ΔX = Xt - Xt-1 避免过度差分 纯随机，无自相关 Ljung-Box检验 核心：协整研究非平稳序列的线性组合 而非把每个序列都差分到平稳

这张图把四个概念串起来了。你从平稳性出发，用单位根检验判断是否平稳，如果不平稳就考虑差分，而白噪声则是模型残差的理想状态。协整分析，就是在这个框架下，寻找非平稳序列之间的“稳定关系”。

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