第3章 ADF检验原理

3、ADF检验原理：数学原理、滞后阶数选择、临界值与P值

协整分析里，ADF检验是绕不开的一关。说白了，它就是帮我们判断一个时间序列是不是「平稳」的。如果序列不平稳，后面做协整回归就容易闹出「伪回归」的笑话——两个毫无关系的序列，回归出来R²还挺高，你敢信？

我刚开始做量化的时候，就吃过这个亏。当时拿沪深300和某只个股做回归，结果漂亮得不行，结果一查，俩序列都是随机游走...嗯，从那以后，我再也不敢跳过ADF检验了。

3.1 ADF检验的数学原理

ADF检验的全称是Augmented Dickey-Fuller检验。它是在DF检验基础上加了「滞后项」的改进版。

先看DF检验的原型。假设我们有一个时间序列 y_t，最简单的自回归模型是：

y_t = ρ * y_{t-1} + ε_t

如果 ρ = 1，说明序列有单位根，不平稳。如果 |ρ| < 1，序列平稳。DF检验就是检验 H₀: ρ = 1 这个原假设。

但实际数据哪有这么简单？残差项 ε_t 往往存在自相关。这时候DF检验就不准了。ADF检验的改进在于——在回归方程里加入差分项的滞后值，来消除残差的自相关。

ADF检验的回归方程长这样：

Δy_t = α + β*t + γ*y_{t-1} + δ₁*Δy_{t-1} + δ₂*Δy_{t-2} + ... + δₚ*Δy_{t-p} + ε_t

其中：

Δy_t = y_t - y_t-1，一阶差分
α 是截距项（漂移项）
β*t 是时间趋势项
γ 是我们要检验的核心系数，γ = ρ - 1
δ₁ 到 δₚ 是滞后差分项的系数，用来吸收残差的自相关

原假设 H₀: γ = 0（存在单位根，不平稳）
备择假设 H₁: γ < 0（序列平稳）

核心要点：ADF检验本质上是在回归方程里「打扫干净」残差的自相关，然后再检验单位根。滞后阶数 p 选得对不对，直接影响检验结果。

3.2 滞后阶数选择——这个坑我踩过

滞后阶数 p 怎么选？说实话，这是ADF检验里最让人头疼的地方。选少了，残差自相关没清干净，检验结果偏误。选多了，自由度损失大，检验功效下降。

我个人习惯用两种方法结合着来：

AIC/BIC准则：遍历 p = 0 到某个最大值（比如 floor(12*(n/100)^(1/4))），选AIC或BIC最小的那个。
残差自相关检验：选完p之后，检查残差是否还有显著的自相关。如果有，增加p。

我曾经在回测一个配对交易策略时，偷懒用了默认的滞后阶数，结果ADF检验说序列平稳，我兴冲冲地建了仓位。后来发现是伪平稳——滞后阶数选少了，残差里藏着自相关没被发现。那次亏了大概3%的净值，教训深刻。

实际代码里，我一般这么写：

import statsmodels.tsa.stattools as ts

# 方法1：自动选阶（默认使用AIC）
result = ts.adfuller(series, autolag='AIC')

# 方法2：手动指定最大滞后阶数
result = ts.adfuller(series, maxlag=12, autolag='AIC')

# 方法3：自己写循环选最优阶
import pandas as pd
from statsmodels.regression.linear_model import OLS
from statsmodels.tools import add_constant

def select_lag(series, max_lag=12):
    best_aic = float('inf')
    best_lag = 0
    for p in range(1, max_lag+1):
        # 构造回归数据
        y = series.diff().dropna()
        x = series.shift(1).dropna()
        for i in range(1, p+1):
            x = pd.concat([x, series.diff().shift(i)], axis=1)
        x = add_constant(x)
        model = OLS(y, x).fit()
        if model.aic < best_aic:
            best_aic = model.aic
            best_lag = p
    return best_lag

我的建议：对于日频数据，滞后阶数通常在5-15之间。周频数据3-8。别超过 floor(12*(n/100)^(1/4))，否则过拟合风险大。

3.3 临界值与P值——到底怎么看结果？

ADF检验输出三个关键数字：检验统计量、临界值、P值。很多人只看P值，其实不够。

检验统计量就是回归方程里 γ 的t统计量。如果这个值小于某个显著性水平下的临界值，就拒绝原假设，认为序列平稳。

举个例子：

# 假设我们得到这样的结果
ADF Statistic: -3.45
Critical Values:
    1%: -3.50
    5%: -2.89
    10%: -2.58
p-value: 0.042

怎么看？

统计量 -3.45 大于 1% 临界值 -3.50 → 在1%水平不能拒绝原假设
统计量 -3.45 小于 5% 临界值 -2.89 → 在5%水平拒绝原假设
P值 0.042 < 0.05 → 在5%水平显著

所以结论是：在5%显著性水平下，序列平稳。但在1%水平下不平稳。

注意：ADF检验的临界值不是标准t分布，而是Dickey-Fuller分布。别拿t分布表去查，会出大问题。statsmodels已经帮我们算好了，直接用就行。

这里有个细节——ADF检验有三种形式：

模型形式	回归方程包含	适用场景
无截距无趋势	只有 γ*y_t-1	序列均值明显为0
有截距无趋势	α + γ*y_t-1	序列围绕非零均值波动
有截距有趋势	α + βt + γy_t-1	序列有明显的时间趋势

怎么选？我一般先画个图看看序列长什么样。如果序列看起来有上升或下降趋势，就用带趋势的模型。如果只是围绕某个均值波动，用带截距的就行。

你想想看，如果序列本身有趋势，你却用了不带趋势的模型，那检验结果很容易误判为「有单位根」。反过来，如果序列没趋势，你硬加个趋势项，检验功效会下降。

实际项目中，我习惯三种形式都跑一遍，然后对比结果。如果三种形式结论一致，那基本稳了。如果不一致，就得仔细看看序列的特征了。

实战口诀：

P值 < 0.05 → 大概率平稳（但别只看P值）
统计量 < 临界值 → 拒绝单位根假设
两者结合看，更稳妥
三种模型形式都跑一遍，避免误判

最后说一句，ADF检验不是万能的。它对结构性断点很敏感，如果序列中间发生了政策变化或市场结构变化，ADF检验可能误判。这时候可以考虑用Zivot-Andrews检验或者Perron检验做补充。不过那是后话了，先把ADF吃透再说。

嗯，这张图把ADF检验的整个流程串起来了。从输入序列开始，到选择模型形式、选滞后阶数、执行回归，最后判断是否平稳。每一步都有讲究，别跳步。

个人经验：我一般会在回测框架里写一个ADF检验的封装函数，自动跑三种模型形式，自动选滞后阶数，然后输出一个「平稳/不平稳」的结论。这样每次做协整分析时，直接调用就行，省得每次都手动调参数。

好了，ADF检验的原理就聊到这儿。记住，检验只是工具，理解数据背后的经济含义才是关键。别为了通过检验而刻意调参数，那是在骗自己。

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3、ADF检验原理：数学原理、滞后阶数选择、临界值与P值

3.1 ADF检验的数学原理

3.2 滞后阶数选择——这个坑我踩过

3.3 临界值与P值——到底怎么看结果？